Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету вычислительная математика.
Ответы на модуль 1 (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕЦИРОВАНИЕ) по предмету вычислительная математика.
1) При какой проблеме решения дифференциальных уравнений конечно-разностными методами возникает вопрос: насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при вычислениях допускаются погрешности и насколько сильно решение зависит от изменения начальных данных?
при проблеме устойчивости
2) В чем состоит идея методов Рунге-Кутта?
в том, что приближенное значение на следующем шаге вычисляется вначале в некоторых промежуточных точках, а затем усредняется
3) Какой метод применяется для решения систем уравнений более общего вида с эрмитовой не обязательно положительно определенной матрицей?
метод квадратного корня
4) В каком случае алгоритм считают условно устойчивым?
если погрешность округления нарастает по степенному закону при переходе от одной операции к другой
5) Как называется вариант метода Гаусса, в случае отыскания периодического решения сеточного уравнения?
методом циклической прогонки
6) Какая матрица называется ленточной?
матрица, состоящая в основном из нулей, ненулевые элементы расположены только на главной диагонали и на двух линиях вдоль нее
7) Что можно использовать в качестве гладкой интерполирующей функции, если не требуется ее высокая степень?
сплайн
8) Для каких систем разработан метод прогонки?
для систем с матрицей, состоящей в основном из нулей, ненулевые элементы расположены только на главной диагонали и на двух линиях вдоль нее
9) Как называют число 2q + 1 в матрице, имеющей ленточную структуру?
шириной ленты
10) Что дает комбинация левой и правой прогонок?
метод встречных прогонок
11) Каким критерием руководствуются при практическом анализе разностных аппроксимаций задачи Коши для гиперболических и параболических уравнений?
спектральным признаком устойчивости
12) Какой метод решения задач Коши применяют для разрывных функций f(x, y)?
метод Эйлера
13) Что из перечисленного является необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации?
Пусть система Ax = b имеет единственное решение. Преобразуем ее к виду x = Bx + c. Итерационный процесс сходится к решению данной системы при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы B по модулю меньше 1
14) К какому типу методов решения алгебраических задач относится метод отражений?
к точным методам
15) В каком случае мы получаем краевую задачу?
если два дополнительных условия заданы в двух разных (но не соседних) точках
16) Какие погрешности могут нарастать в процессе вычислений?
погрешности округления
17) Какого вопроса не возникает при замене дифференциального уравнения на сетке разностным?
вопроса однозначности
18) Какой метод решения систем линейных уравнений применяют, чтобы избежать катастрофического влияния вычислительной погрешности?
метод Гаусса с выбором главного элемента
19) Какой метод состоит в том, чтобы заменить y′ в обыкновенном дифференциальном уравнении первого порядка вида y′ = f(x, y) ее аппроксимацией?
метод Эйлера
20) Как называется погрешность численного метода, обусловленная неточным заданием входных данных?
неустранимой погрешностью
21) В чем суть формул погрешности, полученных для методов Рунге-Кутта?
позволяют определить, насколько быстро меняется погрешность при изменении шага вычислений
22) Какие методы решения алгебраических задач применяются для решения систем до порядка ?
точные методы
23) Что представляет собой вычислительный эксперимент?
расчет серии вариантов для различных математических моделей
24) На каком этапе вычислительного эксперимента используются методы классической математики?
на этапе, когда содержательной модели ставится в соответствие математическая модель
25) Что происходит с величиной погрешности при удалении от краев?
уменьшается
Ответы на модуль 2 (ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) по предмету вычислительная математика.
1) Каким образом можно получить уточненную оценку погрешности квадратур с нечетным числом узлов через ?
следует заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа, имеющим точку (a + b) / 2 двукратным узлом интерполирования
2) Как называется метод решения систем линейных алгебраических уравнений, который позволяет за конеч-ное число действий получить точное решение системы уравнений, если входная информация задана точно, и вычисления ведутся без округления?
прямой метод
3) В каком случае резольвента существует?
если параметр λ не совпадает с каким-либо характеристическим числом
4) Задача решения какого уравнения относится к классу некорректных задач?
задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода
5) При каком значении параметра ω итерационный процесс называют методом нижней релаксации?
0 < ω < 1
6) Сколько арифметических действий потребуется при решении системы уравнений Au = f, чтобы найти вектор в нижней (верхней) треугольной матрице?
N^2
7) Какой метод решения систем линейных алгебраических уравнений требует порядка арифметических действий?
метод квадратного корня
8) Какой метод решения систем линейных алгебраических уравнений можно применять в том случае, когда все главные миноры матрицы отличны от нуля?
метод Гаусса
9) Эффективность каких методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений зависит от порядка системы и структуры матрицы коэффициентов?
прямых методов
10) Что является основным требованием к методу решения систем линейных алгебраических уравнений?
минимум числа арифметических действий, достаточных для отыскания приближенного решения с заданной точностью
11) Как называется итерационный процесс при 1 < ω < 2?
методом верхней релаксации
12) Как называется матрица, у которой все ее ненулевые элементы находятся вблизи главной диагонали?
ленточной матрицей
13) Какой вид имеет формула прямоугольников?
14) В каких пределах должен изменяться параметр ω для сходимости метода релаксации?
0 < ω < 2
15) В чем суть итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений?
позволяет найти приближенное решение системы путем построения последовательности приближений, начиная с некоторого начального приближения
16) Как называется фиксированная функция p(x), если квадратура используется в случае, когда f(x) хорошо приближается к функциям, представленным в виде произведения этой фиксированной функции на много-член?
весом
17) Какой метод решения систем линейных алгебраических уравнений используется в тех случаях, когда информации о матрице недостаточно?
итерационный метод Зейделя
18) Для каких систем линейных алгебраических уравнений пригоден метод квадратного корня?
для систем с симметричной матрицей
19) Какая функция называется четной относительно точки x0?
если f(x-x0)=f(x0-x)
20) На чем основан метод построения точного решения интегральных уравнений с вырожденным ядром?
на идее конечности базисного набора
21) Какой из перечисленных методов не относится к прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений?
метод Зейделя
22) Какая формула записывается в виде ?
формула трапеций
23) Как называется матрица, большинство элементов которой — нули?
разреженной матрицей
24) Какая из перечисленных формул является точной для многочленов третьей степени?
формула Симпсона
25) При каком условии матрица A является невырожденной?
det A ≠ 0
Ответы на модуль 3 (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ) по предмету вычислительная математика.
1) При использовании какого метода точки последовательности вычисляются по правилу , k = 0, 1, …?
при использовании метода Ньютона
2) Какой метод в окрестности точки минимума x* обладает скоростью сходимости, близкой к квадратичной?
метод Марквардта
3) Какой алгоритм предусматривает использование итераций наискорейшего градиентного спуска через каждые n шагов?
алгоритм Полака-Рибьера
4) По какому правилу вычисляются точки последовательности при использовании метода Ньютона-Рафсона?
5) Если множество допустимых решений оказывается конечным множеством, то мы имеем
задачу дискретного программирования
6) При каком условии функцию f(x) называют унимодальной функцией на отрезке [a, b]?
если существует такая точка x* ∈ [a, b], что функция f(x) в полуинтервале [a, x*) убывает, а в полуинтервале (x*, b] возрастает
7) Чему равен градиент функции f(x) в точке x*, если есть точка локального минимума функции f(x) на множестве и f(x) дифференцируема в точке x*?
0
8) Как называют точку x* ∈ Ω, в которой функция достигает своего наименьшего значения?
оптимальным решением
9) При каком условии ограничение называется активным в точке x*?
10) Сколько стационарных точек может иметь непрерывно дифференцируемая унимодальная на отрезке функция?
может иметь более одной стационарной точки
11) В какой формулировке обычно записывают общую задачу математического программирования?
12) Как называются определители m-го порядка , получающиеся из определителя матрицы H(x*) вычеркиванием каких-либо строк и столбцов с одними и теми же номерами?
главными минорами
13) Для каких функций гарантируется сходимость к точке минимума метода Ньютона-Рафсона независимо от выбора начального приближения?
для сильно выпуклых функций
14) При каком значении параметра h в методе простого градиентного спуска в области λ < 0 функция удовлетворяет условиям релаксации?
при любом значении h
15) Какие из перечисленных задач не являются частным случаем задач выпуклого программирования?
задача сепарабельного программирования
16) Чему равно отношение золотого сечения?
≈ 1,62
17) Какая задача рассматривается в случае, когда целевая функция является отношением двух линейных функций, а ограничения линейны?
задача дробно-линейного программирования
18) Как называется функция вида
классической функцией Лагранжа
19) Стратегия какого метода состоит в построении последовательности точек , k = 0, 1, …, таких, что , k = 0, 1, …, и точки этой последовательности вычисляются по правилу: , k = 0, 1, …?
метода Флетчера-Ривса
20) Для каких функций f(x) с матрицей H > 0 метод Флетчера-Ривса является конечным и сходится за число шагов, не превышающее n-размерность вектора x?
для квадратичных функций
21) Какое значение (длина шага) соответствует классическому варианту метода Ньютона без регулировки шага?
22) Какой из методов называют методом касательных?
метод Ньютона
23) Как называется задача, если целевая функция и левые части ограничений типа равенства и неравенства в задаче минимизации являются позиномами?
задачей геометрического программирования
24) Какой метод представляет определенный интерес как средство оценки локальной степени овражности в окрестности точки замедления алгоритма?
метод простого градиентного спуска
25) Какую задачу определяют соотношения ?
задачу сепарабельного программирования
Ответы на модуль 4 (ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ) по предмету вычислительная математика.
1) Каким является дифференциальное уравнение, если дискриминант D(x, y) > 0?
гиперболическим в точке (x, y)
2) Что из перечисленного не является требованием при решении задач математической физики?
устойчивость
3) Чему равно число начальных условий в смешанной задаче?
порядку производной по времени в уравнении
4) Что является основным объектом изучения в математической физике?
краевая задача
5) Чему равен ранг матрицы , если собственное значение невырожденное?
n-1
6) Какое из перечисленных требований не относится к краевым задачам?
решение задачи должно быть конечным
7) Какие переменные соответствуют базису ?
квазиуровни Ферми для электронов и дырок, электрический потенциал
8) Какой должна быть задача, описывающая реальный процесс и приводящая к близким результатам для близких начальных данных?
устойчивой
9) Что можно устранить в граничных условиях с помощью замены неизвестной функции?
неоднородность
10) Число каких условий в смешанной задаче зависит от типа уравнения?
начальных условий
11) Что значит решить смешанную задачу?
значит найти такую функцию u(t, x), которая является решением соответствующего уравнения и удовлетворяет граничным и начальным условиям
12) Какими условиями дополняются дифференциальные уравнения при описании физических явлений в математической физике?
краевыми условиями
13) Какое из перечисленных уравнений не входит в фундаментальную систему уравнений в диффузно-дрейфовом приближении?
уравнение Лапласа
14) При каком значении дискриминанта дифференциальное уравнение является эллиптическим в точке (x, y)?
если D(x, y) < 0
15) Какой из перечисленных базисов переменных не используют при решении фундаментальной системы уравнений?
16) Как принято называть множество искомых функций системы уравнений?
базисом переменных
17) Для какого типа дифференциальных уравнений не ставится смешанная задача?
для уравнений эллиптического типа
18) Какое из перечисленных уравнений не относится к эллиптическим уравнениям?
уравнение теплопроводности
19) Как определяется количество граничных условий для каждой переменной в дифференциальных уравнений?
максимальным порядком производных по координатам
20) В каком случае граничные условия однородны в однородной задаче?
v = 0
21) К какому типу уравнений относятся волновые уравнения?
к уравнениям гиперболического типа
22) В каком случае интегральное уравнение Фредгольмана второго рода называется однородным?
если свободный член f(x) равен нулю
23) Какие физические процессы описываются уравнениями параболического типа?
нестационарные, т.е. изменяющиеся во времени физические процессы
24) Количество каких условий для каждой переменной определяется максимальным порядком производных по координатам?
граничных условий
25) Какие уравнения являются важными для моделирования процессов переноса заряда в полупроводниках?
уравнения непрерывности